Geometria este ramura matematicii care stimulează gândirea copiilor, dezvoltă imaginația și creativitatea, contribuie la crearea unor raționamente. Trecerea de la gândirea de ansamblu, de-a lungul claselor primare, spre gândirea analitică, din gimnaziu, apoi liceu, se realizează etapizat, elevii progresează pe măsură ce trec de la un nivel de gândire la altul.
Pierre van Hiele și soția sa, Dina van Hiele-Geldof, cercetători și profesori olandezi, aveau experiență personală cu dificultățile pe care elevii lor le întâmpinau în studiul geometriei. Astfel, ei au tratat aceste aspecte în detaliu. Teoria își are originea în tezele lor de la Universitatea din Utrecht, din 1957. În 1986, van Hiele, publică lucrarea Structura and Insight, în care descrie teoria sa, aceasta influențând astfel programele de geometrie din întreaga lume.

Teoria van Hiele

Teoria cuprinde trei aspecte: existența nivelurilor, proprietățile nivelurilor și progresul de la un nivel la următorul. Nivelurile descriu modul în care elevii raționează despre forme și alte idei geometrice. Modelul de învățare promovat de van Hiele cuprinde cinci niveluri de gândire:

• Nivelul 0: Vizualizare (Recunoaștere)
• Nivelul 1: Analiză (Descriere)
• Nivelul 2: Abstractizare (Deducere informală)
• Nivelul 3: Deducere (Deducere formală)
• Nivelul 4: Rigoare

Cu accent pe analiza și clasificarea formelor, elevii învață geometria de la o vârstă fragedă, apoi – treptat – dezvoltă conceptele, pe baza proprietăților acestora. Dar, cu toate acestea, vârstele din fiecare etapă pot varia în funcție de progresul elevilor în școală, de experiențele pe care le are fiecare elev, de înțelegere fiecărui nivel în parte. Progresul elevilor depinde și de conținutul și metodele de instruire.

Nivelul 0: Vizualizare (Recunoaștere)

La acest nivel, elevii recunosc/ învață forme geometrice în funcție de caracteristicile vizuale ale acestora, bazându-se pe percepții de ansamblu sau pe anumite elemente (fețe, margini, vârfuri), fără să acorde o atenție deosebită anumitor trăsături (laturi, unghiuri, paralelism etc.). Ei pot recunoaște formele după întregul lor, dar nu pot recunoaște și proprietățile acestora, descoperă intuitiv. Înțelegerea se face pe baza unor exemple clasice, când elevul poate recunoaște forme.

Exemplu: forma este un dreptunghi, deoarece arată ca un caiet de matematică.

Nivelul 1: Analiză (Descriere)

La Nivelul 1, elevii descoperă diferite proprietăți matematice: mărimea unghiurilor, paralelism etc., dar nu face conexiuni între acestea. Se analizează conceptul și proprietățile acestuia. Elevii descoperă proprietățile prin observare, experimentare, măsurare, desen, realizarea de modele. Încep să identifice părți ale figurilor, acum pot înțelege că formele dintr-un grup au aceleași proprietăți, fac parte dintr-o clasă de forme.

Exemplu: elevul observă că un pătrat are patru laturi de mărimi egale și patru unghiuri drepte, dar nu vede legătura dintre aceste proprietăți.

Nivelul 2: Abstractizare (Deducere informală)

Elevii încep să recunoască relația dintre proprietățile formelor geometrice, pot deduce definițiile. Ei pot înțelege discuții deductive despre forme și despre caracteristicile diferite ale acestora.

Exemplu: elevul poate înțelege că un dreptunghi este un patrulater cu laturi opuse paralele și congruente.

Nivelul 3: Deducere (Deducere formală)

În această etapă elevii creează raționamente deductive pe baza unor structuri matematice sau deduse din definiție, inclusiv proprietăți care nu pot fi văzute. Elevii pot opera cu concepte geometrice mai complexe, pot gândi proprietățile figurilor și corpurilor geometrice, relațiile dintre teoreme, postulate, axiome  și definițiile acestora. Acum elevii pot utiliza afirmații abstracte despre proprietățile geometrice, pot trage concluzii logice.

Exemplu: elevul poate demonstra că într-un triunghi suma unghiurilor este 180 de grade.

Nivelul 4: Rigoare

La acest nivel elevii vor vedea geometria în abstract. Pot compara diferite sisteme geometrice, pot analiza axiomele și fundamentele geometriei. Acesta este nivelul avansat și necesită o înțelegere profundă a conceptelor geometrice.

Pentru o bună învățare, modelul van Hiele implică și cinci faze de învățare:

• informare,
• orientare dirijată,
• explicare,
• orientare liberă,
• integrare.

Concluzie

Modelul se aplică în special la învățarea geometriei și la dezvoltarea gândirii geometrice. Elevii trebuie să treacă prin aceste niveluri în ordine, altfel ei nu pot avansa la un nivel superior fără a înțelege nivelul anterior. Modelul ajută la pregătirea elevilor pentru studiul geometriei în clasele superioare.

Se spune că Ptolemeu i-ar fi cerut lui Euclid să îi arate o cale mult mai ușoară pentru a învăța geometria, iar Euclid i-ar fi răspuns că „în geometrie nu există drumuri speciale pentru regi”. Așadar, profesorii trebuie să adapteze metodele de predare la nivelul de înțelegere al elevilor, în așa fel încât aceștia să înțeleagă fiecare nivel.

De obicei, în învățământul primar, elevii studiază nivelurile 0 și 1, către gimnaziu nivelul 2. O bună înțelegere a noțiunilor de geometrie în învățământul primar va duce la rezultate bune în gimnaziu.

Surse
Van Hiele, P. M., Structure and Insight. A theory of Mathematics Education, Academic press Inc, 1986.
Van Hiele, P. M., Developing Geometric Thinking through Activities that Begin with Play, Teaching Children Mathematics, Vol. 5, 310–316, 1999.
Usiskin, Z., Van Hiele Levels and Achievement in Secondary School Geometry, University of Chicago, 1982.
chrome-extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/https://physics.mff.cuni.cz/wds/proc/pdf12/WDS12_112_m8_Vojkuvkova.pdf, 31.07.2025.
www.researchgate.net/figure/Level-2-informal-deduction-or-order_fig3_322517171 , 31.07.2025