Dezvoltarea gândirii matematice la elevi reprezintă mult mai mult decât simpla asimilare de concepte și formule – este un proces fundamental care modelează întreaga arhitectură cognitivă a copilului. În contextul acestei evoluții intelectuale, trecerea de la numerele naturale la numerele raționale constituie un moment crucial, un adevărat salt conceptual care solicită și dezvoltă în același timp capacitățile superioare de abstractizare ale elevului.

Formarea conceptului de număr rațional nu este doar o etapă în parcursul matematic școlar, ci o provocare intelectuală care pune în mișcare mecanisme cognitive complexe: gândirea analogică, capacitatea de generalizare, înțelegerea relațiilor de echivalență și dezvoltarea flexibilității mentale. Prin introducerea numerelor raționale, elevii sunt confruntați pentru prima dată cu ideea că aceeași entitate matematică poate avea multiple reprezentări, ceea ce constituie o lecție fundamentală despre natura relativă și contextuală a cunoașterii.

Această tranziție conceptuală pregătește terenul pentru dezvoltarea unei gândiri mai nuanțate și mai sofisticate, în care rigiditatea categoriilor absolutes este înlocuită cu o înțelegere mai profundă a relațiilor și a structurilor matematice. Mai mult decât atât, procesul de formare a conceptului de număr rațional cultivă abilități cognitive transferabile în alte domenii ale cunoașterii: capacitatea de a opera cu abstracțiuni, de a identifica modele și regularități, și de a construi sisteme conceptuale coerente.

Programa de matematică pentru învățământul primar si gimnazial își propune să formeze la elevi o imagine cuprinzătoare despre numere, astfel încât, după studierea numerelor naturale, elevii  fac cunoștință cu o nouă categorie de numere, mai precis cu  numerele raționale.

„Formarea conceptului de număr rațional este un proces complex, care trebuie să parcurgă drumul de la acțiuni concrete, manipulative la cele de reprezentare matematică, atingând un nivel de abstractizare prin elemente simbolice.” (Neacșu, 2001, 89). Prin urmare, cadrul didactic trebuie să găsească mijloacele și procedeele didactice potrivite, prin care să inducă elevilor, necesitatea introducerii numerelor raționale.

Se poate utiliza și demersul deductiv, adică punerea elevilor în situația de a rezolva probleme legate de mersul la cumpărături sau de efectuarea unor măsurători în teren, care să nu aibă ca rezultat un număr natural sau operații de împărțire a unui număr la altul al căror rezultat nu este un număr natural.

Faptul ca mulțimea numerelor raționale o include și pe aceea a numerelor naturale, îi pune pe elevi într-o oarecare dificultate de înțelegere. Aici trebuie să intervină abilitatea didactică a învățătorului, care va clarifica pentru elevi detaliile semnificative ale acestui concept matematic.

Posibilele dificultăți provin din faptul că un număr rațional are o infinitate de reprezentanți    1/( 2 ) = 2/4=⋯=  n/2n ; n ∈ N*  , că egalitatea dintre numerele raționale capătă un aspect nou, acela de echivalență.

Ulterior, elevii vor înțelege că orice număr natural poate fi considerat un număr rațional.
Numerele naturale pot fi reprezentate într-o infinitate de moduri:
3 = 3/1 = 6/2 = 9/3 = …..= ( 3n)/n , n ∈ N*

Ioan Neacșu, în lucrarea Didactica matematicii în învățământul primar, propune introducerea noțiunii de  număr rațional pozitiv,  cu ajutorul claselor de echivalență, în scopul lărgirii orizontului matematic al cadrelor didactice, ca prim pas în predarea acestui concept matematic.

Fie E = N × N*= {(p,q)│ p∈N și q∈ N^* }
Orice pereche ( p, q ) ∈  E se numește fracție.
Notația uzuală pentru fracție este   p/q .
Vom scrie  E = { p/q│ p ∈N,q ∈ N^* }.
Pe  mulțimea E se definește relația de echipotență  „~”  care, conform demonstrației, este relație de echivalență.
„~”: p/q ~ p^,/q^,  □(⇔┴def ) pq’ = qp^'( se va citi echipotență sau echivalență ).
Relația   „ ~” este  reflexivă:
p/(q )~p/q □(⇔)  pq = qp ( înmulțirea numerelor naturale este comutativă)
Relația    „~” este  simetrică:
Dacă  p/q ~ p^,/q^,  , atunci și  p^,/q^,  = p/q .
Într – adevăr:
p/q ~ p^,/q^,   ⇔   pq’ = qp^’ (1)
și
p^,/q^,~p/q ⇔ p^’q = q’p  (2)
Dar  pq’ = q’p și qp^’ = p^’q, conform proprietății de comutativitate a înmulțirii
numerelor naturale.
Astfel relațiile (1) și (2) devin echivalente.
Relația „~” este tranzitivă:
( p)/q~ p^,/q^,  și  p^,/q^,  ~ p^(,,)/q^(,,)  ⇒  p/q~ p^(,,)/q^(,,)
Într – adevăr:
( p)/q~ p^,/q^,⇔   pq’ = qp^’ (1)
p^,/q^,  ~ p^(,,)/q^(,,) ⇔ p^’ q^”= q’p^”  (2)
Dar înmulțind relațiile (1) și (2) membru cu membru, obținem relația  p q’p^’ q^”= 〖q’p〗^’ q’p^” (3), pe care o vom simplifica  prin p^’ q’. Obținem astfel:
p^’ q^”= q ∙ p^” □(⇔┴def )  ( p)/q~p^(,,)/q^(,,)   .

Am arătat, așadar, că relația de echipotență „~” este o relație de echivalență.
Relația „~” determină pe mulțimea E = N× N* , pe care a fost definită o partiție a
mulțimii respective în submulțimi disjuncte, numite clase de echivalență.
Mulțimea acestor clase de echivalență determinate de mulțimea E în raport cu relația de echivalență „~” se notează Q_+= N× N* /_~.

Elementele mulțimii Q_+ se numesc numere raționale pozitive.

Toate fracțiile, perechile de tip ( p, q) care aparțin aceleiași clase de echivalență sunt reprezentanți ai acestei clase. Conform definiției, se spune că ele reprezintă același număr rațional. Orice număr rațional are o infinitate de reprezentanți.
De exemplu, în clasa 2/7 se află toate fracțiile p^,/q^,   echivalente cu fracția 2/7 :  p^,/q^,  ~2/7 ⇔ p^’∙ 7 =  q’ ∙ 2, cu  p^’ ∈ N și q’∈ N*, adică toate fracțiile 2/7   , 4/14 , 6/21 , 8/28  ,…..
Numerele raționale se vor nota ca fracțiile.
Numărul rațional reprezentat de fracția p/q , sau perechea (p,q) se desemnează tot prin p/q.

Pentru a evita confuziile datorate acestei notații, se va face specificația necesară dacă este vorba de o fracție p/q sau de un număr rațional notat tot cu p/q.
Proprietățile aritmetice ale mulțimilor N și Q_+ ne permit să identificăm orice număr natural n cu număr rațional n/l .

Se desprinde astfel observația că mulțimea numerelor raționale pozitive Q_+  este de fapt o extindere a mulțimii N a numerelor naturale.

Parcursul complex al formării conceptului de număr rațional, de la manipularea concretă la abstractizarea simbolică, ilustrează în mod exemplar modul în care învățarea matematicii contribuie la dezvoltarea gândirii în ansamblul său. Procesul descris nu se limitează la dobândirea unei noi categorii de numere, ci reprezintă o veritabilă gimnastică intelectuală care fortifică și rafinează aparatul cognitiv al elevului.

Introducerea claselor de echivalență, înțelegerea multiplelor reprezentări ale aceluiași număr rațional și asimilarea relațiilor de tip „unul la mulți” constituie exerciții mentale care transcend domeniul strict matematic. Aceste procese cognitive se transferă în gândirea critică, în capacitatea de analiză și sinteză, în abilitatea de a percepe esența dincolo de formă și în competența de a naviga în universul complex al relațiilor abstracte.

Provocarea didactică constă în transformarea acestui proces aparent tehnic într-o experiență intelectuală bogată și formatoare. Când elevii înțeleg că 1/2, 2/4 și 3/6 sunt doar fețe diferite ale aceleiași realități matematice, ei dezvoltă o înțelegere profundă a naturii reprezentărilor simbolice și a relativității perspectivelor – competențe esențiale pentru gândirea modernă.

Astfel, formarea conceptului de număr rațional devine un laborator privilegiat pentru cultivarea gândirii flexibile, creative și riguroase în același timp. Este un proces care, dincolo de obiectivele curriculare imediate, contribuie la formarea unor minți capabile să navigheze cu încredere în complexitatea lumii contemporane, unde capacitatea de abstractizare și de gândire relațională sunt competențe fundamentale pentru succesul personal și profesional.

Bibliografie
Neacşu I. (coord.), Metodica predării matematicii la clasele I-IV, EDP, 1988